《函數的應用》指數函數、對數函數與冪函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.能運用指數函數、對數函數、冪函數的性質(zhì)來(lái)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
2.了解函數模型在社會(huì )生活及科研中的廣泛應用.
3.培養應用數學(xué)的意識以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
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函數的應用PPT，第二部分內容：課前篇自主預習
一、幾種常見(jiàn)的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型f(x)=ax+b(a,b為常數,a≠0)
二次函數模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
與指數函數相關(guān)的模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0)
與對數函數相關(guān)的模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0)
與冪函數相關(guān)的模型f(x)=axn+b(a,b,n為常數,a≠0)
二、三種函數模型性質(zhì)的比較
1.填空.
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的單調性 增函數 增函數 增函數
增長(cháng)速度 越來(lái)越快 越來(lái)越慢 相對平穩
圖像的變化 隨x值增大,圖像與y軸接近平行 隨x值增大,圖像與x軸接近平行 隨n值變化而不同
2.做一做:某同學(xué)在一次數學(xué)實(shí)驗中,獲得了如下一組數據:
則x,y的函數關(guān)系最接近(其中a,b為待定系數)函數( )
A.y=a+bx
B.y=bx
C.y=ax2+b
答案:B
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函數的應用PPT，第三部分內容：課堂篇探究學(xué)習
指數函數模型
例1諾貝爾獎發(fā)放方式為:每年一發(fā),把獎金總額平均分成6份,獎勵給分別在物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、生理學(xué)和醫學(xué)、和平上為人類(lèi)做出最有益貢獻的人,每年發(fā)放獎金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半,另一半利息作基金總額,以便保證獎金數逐年增加.假設基金平均年利率為r=6.24%.資料顯示:2015年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額約為19 800萬(wàn)美元.設f(x)表示第x(x∈N+)年諾貝爾獎發(fā)放后的基金總額.(2015年記為f(1),2016年記為f(2),…,依次類(lèi)推)
(1)用f(1)表示f(2)與f(3),并根據所求結果歸納出函數f(x)的表達式;
(2)試根據f(x)的表達式判斷網(wǎng)上一則新聞“2025年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬(wàn)美元”是否為真,并說(shuō)明理由.(參考數據:1.031 29≈1.32)
分析:指數型函數模型的應用是高考的一個(gè)主要內容,常與增長(cháng)率相結合進(jìn)行考查.在實(shí)際問(wèn)題中,有人口增長(cháng)、銀行利率、細胞分裂等增長(cháng)問(wèn)題可以用指數型函數模型來(lái)表示.通�？杀硎緸閥=a(1+p)x(其中a為原來(lái)的基礎數,p為增長(cháng)率,x為時(shí)間)的形式.
解:(1)由題意知f(2)=f(1)(1+6.24%)- f(1)·6.24%=f(1)×(1+3.12%),
f(3)=f(2)×(1+6.24%)- f(2)×6.24%
=f(2)×(1+3.12%)=f(1)×(1+3.12%)2,
∴f(x)=19 800(1+3.12%)x-1(x∈N+).
(2)2024年諾貝爾獎發(fā)放后基金總額為f(10)=19 800(1+3.12%)9≈26 136,
故2025年度諾貝爾獎各項獎金為 f(10)·6.24%≈136(萬(wàn)美元),與150萬(wàn)美元相比少了約14萬(wàn)美元,是假新聞.
反思感悟指數函數模型的應用
指數函數y=ax(a>1)經(jīng)復合可以得到指數型函數,指數型函數的函數值變化較快,指數型函數函數值的增長(cháng)速度隨底數不同而不同,并且根據已知數據的關(guān)系能建立起模型,進(jìn)而能對未知進(jìn)行推斷.
變式訓練1某城市現有人口總數為100萬(wàn),如果年自然增長(cháng)率為1.2%,試解答下面的問(wèn)題.
(1)寫(xiě)出該城市的人口總數y(萬(wàn))與年數x(年)的函數關(guān)系式;
(2)計算10年后該城市人口總數(精確到0.1萬(wàn));
(3)計算大約多少年后該城市人口總數將達到120萬(wàn)(精確到1年)((1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)15≈1.196,(1+1.2%)16≈1.21).
解:(1)1年后該城市人口總數為y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)(萬(wàn));
2年后該城市人口總數為y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2(萬(wàn));
3年后該城市人口總數為y=100×(1+1.2%)3(萬(wàn));
該城市人口總數y(萬(wàn))與年數x(年)的函數關(guān)系式為y=100×(1+1.2%)x.
(2)10年后該城市人口總數為y=100×(1+1.2%)10≈100×1.127≈112.7(萬(wàn)).
(3)令y=120,則有100×(1+1.2%)x=120,
解方程可得x≈16,
即大約16年后該城市人口總數將達到120萬(wàn).
對數函數模型
例2 某地一漁場(chǎng)的水質(zhì)受到了污染.漁場(chǎng)的工作人員對水質(zhì)檢測后,決定往水中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì).已知每投放質(zhì)量為m(m∈N+)個(gè)單位的藥劑后,經(jīng)過(guò)x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿(mǎn)足y=mf(x),其中f(x)={■(log_3 "(" x+4")(" 0<x≤5")," @6/(x"-" 2) "(" x>5")," )┤當藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)時(shí)稱(chēng)為有效凈化;當藥劑在水中釋放的濃度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)時(shí)稱(chēng)為最佳凈化.
(1)如果投放的藥劑質(zhì)量為m=6,那么漁場(chǎng)的水質(zhì)達到有效凈化一共可持續幾天?
(2)如果投放的藥劑質(zhì)量為m,為了使在8天(從投放藥劑算起包括第8天)之內的漁場(chǎng)的水質(zhì)達到最佳凈化,試確定應該投放的藥劑質(zhì)量m的取值范圍.
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函數的應用PPT，第四部分內容：思維辨析
因未弄清函數類(lèi)型而致誤
典例 某林區2018年木材蓄積量為200萬(wàn)立方米,由于采取了封山育林、嚴禁砍伐等措施,使木材蓄積量的年平均增長(cháng)率達到5%.
(1)若經(jīng)過(guò)x年后,該林區的木材蓄積量為y萬(wàn)立方米,求y=f(x)的表達式,并求此函數的定義域;
(2)求經(jīng)過(guò)多少年后,林區的木材蓄積量能達到300萬(wàn)立方米.
錯解:(1)現有木材蓄積量為200萬(wàn)立方米,經(jīng)過(guò)1年后木材蓄積量為200+200×5%=200(1+5%);
經(jīng)過(guò)2年后木材蓄積量為200(1+5%×2);
經(jīng)過(guò)x年后木材蓄積量為200(1+5%·x).
所以y=f(x)=200(1+5%·x)(x∈N+).
(2)設x年后木材蓄積量為300萬(wàn)立方米,
正解:(1)現有木材蓄積量為200萬(wàn)立方米.
經(jīng)過(guò)1年后木材蓄積量為200+200×5%=200(1+5%);
經(jīng)過(guò)2年后木材蓄積量為200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2;
所以經(jīng)過(guò)x年后木材蓄積量為200(1+5%)x.
所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N+).
(2)由200(1+5%)x=300,得(1+5%)x=1.5,取值驗證可知8<x<9,所以取x=9,即經(jīng)過(guò)9年后,林區的木材蓄積量能達到300萬(wàn)立方米.
防范措施對此類(lèi)問(wèn)題首先要弄清題目,木材蓄積量年平均增長(cháng)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上為一指數函數類(lèi)模型.若初始蓄積量為a,年平均增長(cháng)率為b%,則x年后木材蓄積量y與x的關(guān)系為y=a(1+b%)x,x∈N+.另外還有儲蓄等問(wèn)題也屬于指數型函數模型.因此大家在學(xué)習過(guò)程中多積累實(shí)際素材,每一類(lèi)實(shí)際問(wèn)題都有其自身的規律特點(diǎn).
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函數的應用PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.(多選)某種商品2018年提價(jià)25%,2020年要降價(jià),但不能低于原價(jià),則可以降價(jià)( )
A.25% B.20% C.15% D.10%
答案:BCD
2.某研究小組在一項實(shí)驗中獲得一組關(guān)于y,t之間的數據,將其整理后得到如下的圖像,下列函數中,最能近似刻畫(huà)y與t關(guān)系的是( )
A.y=2t
B.y=2t2
C.y=t3
D.y=log2t
答案:D
解析:此曲線(xiàn)符合對數函數的變化趨勢.
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