《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT課件(第4課時(shí)向量的數量積)
第一部分內容：必備知識·素養奠基
1.向量的夾角
定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作 =a， =b，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).
(1)范圍：向量a與b的夾角的范圍是0≤θ≤π.
(2)當θ=0時(shí)，a與b同向；當θ=π時(shí)，a與b反向.
(3)如果a與b的夾角是 我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b.
2.向量的數量積的定義
已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cos θ叫做a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b=|a||b|cos θ.
規定：零向量與任一向量的數量積為0.
【思考】
(1)把“a·b”寫(xiě)成“ab”或“a×b”可以嗎，為什么？
提示：不可以，數量積是兩個(gè)向量之間的乘法，在書(shū)寫(xiě)時(shí)，一定要嚴格，必須寫(xiě)成“a·b”的形式.
(2)向量的數量積運算的結果仍是向量嗎？
提示：向量的數量積運算結果不是向量，是一個(gè)實(shí)數.
4.向量的數量積的性質(zhì)
設a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角.
(1)垂直的條件：a⊥b⇔a·b=0.
(2)當a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；
當a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|.
【思考】
(1)對于任意向量a與b，“a⊥b⇔a·b=0”總成立嗎？
提示：當向量a與b中存在零向量時(shí)，總有a·b=0，但是向量a與b不垂直.
5.向量數量積的運算律
(1)a·b=b·a(交換律).
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結合律).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
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平面向量的運算PPT，第二部分內容：關(guān)鍵能力·素養形成
類(lèi)型一 向量數量積的計算及其幾何意義
【典例】1.(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿(mǎn)足|a|=1，a·b=-1，則a·(2a-b)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
2.如圖，四邊形ABCD是邊長(cháng)為2的菱形，∠BAD=60°，E，F分別為BC，CD的中點(diǎn)，則 =( )
3.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，則a在b方向上的投影為_(kāi)_______，b在a方向上的投影為_(kāi)_______.
【解析】
1.選B.因為|a|=1，a·b=-1，
所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.
【內化·悟】
如何解決幾何圖形中向量數量積的計算？
提示：一般選擇已知長(cháng)度與夾角的向量作基底，用基底表示要求數量積的向量，再計算.
2.已知|a|=10，|b|=4，a與b的夾角θ=120°.
求：(1)a·b.
(2)a在b方向上的射影.
(3)(a-2b)·(a+b).
(4)(a-b)2.
類(lèi)型二 與向量模有關(guān)的問(wèn)題
【典例】1.(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=_____________ .
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