《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT(第3課時(shí)向量的數乘運算)
第一部分內容：學(xué)習目標
理解向量數乘的定義及幾何意義，掌握向量數乘的運算律
掌握向量共線(xiàn)定理，會(huì )判斷或證明兩個(gè)向量共線(xiàn)
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平面向量的運算PPT，第二部分內容：自主學(xué)習
問(wèn)題導學(xué)
預習教材P13－P16的內容，思考以下問(wèn)題：
1．向量數乘的定義及其幾何意義是什么？
2．向量數乘運算滿(mǎn)足哪三條運算律？
3．向量共線(xiàn)定理是怎樣表述的？
4．向量的線(xiàn)性運算是指的哪三種運算？
新知初探
1．向量的數乘的定義
一般地，規定實(shí)數λ與向量a的積是一個(gè)_______，這種運算叫做向量的數乘，記作_______，它的長(cháng)度與方向規定如下：
(1)|λa|＝_______．
(2)當λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向_______；當λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向_______；當λ＝0時(shí)，λa＝_______．
名師點(diǎn)撥
λ是實(shí)數，a是向量，它們的積λa仍然是向量．實(shí)數與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒(méi)有意義．
2．向量數乘的運算律
設λ，μ為實(shí)數，那么：
(1)λ(μa)＝_______．
(2)(λ＋μ)a＝______________．
(3)λ(a＋b)＝______________．
3．向量的線(xiàn)性運算及向量共線(xiàn)定理
(1)向量的加、減、數乘運算統稱(chēng)為向量的___________．對于任意向量a，b，以及任意實(shí)數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．
(2)向量a(a≠0)與b共線(xiàn)的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數λ，使_______．
名師點(diǎn)撥
若將定理中的條件a≠0去掉，即當a＝0時(shí)，顯然a與b共線(xiàn)．
(1)若b≠0，則不存在實(shí)數λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，則對任意實(shí)數λ，都有b＝λa.
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平面向量的運算PPT，第三部分內容：自我檢測
1.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)實(shí)數λ與向量a的積還是向量．( )
(2)3a與a的方向相同，－3a與a的方向相反．( )
(3)若ma＝mb，則a＝b.( )
(4)向量共線(xiàn)定理中，條件a≠0可以去掉．( )
2. 4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a(chǎn)－2b B．a(chǎn)
C．a(chǎn)－6b D．a(chǎn)－8b
3.若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關(guān)系式正確的是( )
A．b＝2a B．b＝－2a
C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝－2b
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平面向量的運算PPT，第四部分內容：講練互動(dòng)
向量的線(xiàn)性運算
(1)計算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
③23（4a－3b）＋13b－14（6a－7b）.
(2)設向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求13a－b－a－23b＋(2b－a)．
規律方法
向量線(xiàn)性運算的基本方法
(1)類(lèi)比方法：向量的數乘運算可類(lèi)似于代數多項式的運算．例如，實(shí)數運算中的去括號、移項、合并同類(lèi)項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類(lèi)項”“公因式”指向量，實(shí)數看作是向量的系數．
(2)方程方法：向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當作未知數，利用代數方程的方法求解，同時(shí)在運算過(guò)程中要多注意觀(guān)察，恰當運用運算律，簡(jiǎn)化運算．
向量共線(xiàn)定理及其應用
已知非零向量e1，e2不共線(xiàn)．
(1)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線(xiàn)，試確定實(shí)數k的值．
規律方法
向量共線(xiàn)定理的應用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線(xiàn)有公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)重合．例如，若AB→＝λAC→，則AB→與AC→共線(xiàn)，又AB→與AC→有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，這是證明三點(diǎn)共線(xiàn)的重要方法．
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平面向量的運算PPT，第五部分內容：達標反饋
1.1312（2a＋8b）－（4a－2b）等于( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a(chǎn)－b
2．若點(diǎn)O為平行四邊形ABCD的中心，AB→＝2e1，BC→＝3e2，則32e2－e1＝( )
A.BO→ B.AO→
C.CO→ D.DO→
3．已知e1，e2是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，若AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，求證A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．
證明：因為CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，
所以BD→＝CD→－CB→＝e1－4e2.
又AB→＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，所以AB→＝2BD→，所以AB→與BD→共線(xiàn)．
因為AB與BD有交點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．
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